Рынзенко Татьяна Анатольевна

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Свойства функции y=sin(x) и ее график. 

График функции 15 (синусоида)

Свойства функции 15

  1.  Область определения: R (x — любое действительное число) т.е. 
  2. Область значений: 3
  3. Функция нечетная:

    (график симметричен относительно начала координат).

  4. Функция периодическая с периодом file.[2]
  5. Точки пересечения с осями координат:  file.[3]
  6. Промежутки знакопостоянства: 
  7. Промежутки возрастания и убывания:   
  8. file.[4]

 

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6)   промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) наибольшее и наименьшее значения функции.

Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).

 

 Рис.1.

Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции 15 — все действительные числа. Это можно записать так:

Для точек единичной окружности ординаты находятся в промежутке [—1; 1] и принимают все значения от —1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [—1; 1] оси ординат (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди­нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди­нату. Таким образом, для функции 15 область значений: . Это можно записать так:.Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при Наименьшее значение функции 15 равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при4.

Синус — нечетная функция: file_1, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : 5_1, таким образом, через промежутки длиной вид графика функции 15 повторя­ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию парал­лельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние , где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение , то есть график функции проходит через начало координат.

На оси значение 12. Поэтому необходимо найти такие значения , при которых 15, то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D, то есть при 13 (см. рис. 1).

Промежутки знакопостоянства. Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 2). Таким образом, 16 при всех 17, а также, учитывая период, при всех 18.

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую­щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто­му 19 при 20.

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции 15 с периодом 21, достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной 6, например на промежутке 22

Если 23(рис. 3, а), то при увеличении аргумента 24 ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть 25, следовательно, на этом промежутке функция 15 возрас­тает. Учитывая периодичность функции 15, делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков 26

27

Рис.2                                                                            Рис.3

Если 28 (рис.3,б), то при увеличении аргумента 29 ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть 30), таким образом, на этом промежутке функция 15 убыва­ет. Учитывая периодичность функции 15, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков 31

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции 15. Учитывая периодичность этой функции (с периодом 6), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной 6, на­пример на промежутке 32. Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 4 показано построение графика функции 15 на промежутке 33. Учитывая нечетность функции 15 (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке 34 отображаем полученную кривую симметрич­но относительно начала координат (рис. 5).

35

Рис.4

37

Рис.5

 

Поскольку мы построили график на промежутке длиной 6, то, учитывая периодичность синуса (с периодом 6), повторяем вид графика на каждом промежутке длиной 6 (то есть переносим параллельно график вдоль оси на 36, где k — целое число). Получаем график, который называется синусоидой .(Рис.6)

38

Рис.6


Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в ма­тематике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой 39. Та­кие процессы называют гармоническими колебаниями.

График функции 39 можно получить из синусоиды 15 сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным пере­носом вдоль оси . Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой 40, где А — амплитуда

колебания, 41— частота, 42 — начальная фаза, 43 — период колебания.


 

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК

График функции  (косинусоида).

Свойства функции 

  1. Область определения: R (x — любое действительное число)11.
  2. Область значений: 3
  3. Функция четная: 4

    (график симметричен относительно оси 8).



  4. Функция периодическая с периодом 21 : 5
  5. Точки пересечения с осями координат 6
  6. Промежутки знакопостоянства: 7
  7. Промежутки возрастания и убывания: 
    8

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции 1 — все действительные числа. Это можно записать так:
11.

10

Рис.7

Для точек единичной окружности абсциссы находятся в промежутке 12 и принимают все значения от -1 до 1, поскольку через любую точку отрезка 12оси абсцисс (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции 13. Это можно записать так: 3.

Как видим, наибольшее значение функции 16равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при 15.

Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при 17.

Косинус — четная функция: 4, поэтому ее график симметричен относительно оси 8.

Косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом 21: 5. Таким об­разом, через промежутки длиной 6 вид графика функции 16повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси 8значение 9. Тогда соответствующее значение 20. На оси 11 значение 12. Поэтому необходимо найти такие значения 14, при которых 16, то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при 22.

Промежутки знакопостоянства. Значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 8). Следова­тельно, 230 при 24, а также, учитывая период, при всех 25.

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству­ющей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому 26 при 27

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции 28, достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной 6, например на промежутке 29.

Если 30 (рис. 9, а), то при увеличении аргумента 31 абсцис­са соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть 36), следовательно, на этом промежутке функция 16убывает. Учитывая периодичность функции 16, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков 37.

Если 34 (рис. 9, б), то при увеличении аргумента 31 аб­сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть 36), таким образом, на этом промежутке функция 16 возрастает. Учитывая периодичность функции 16, делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков 37

38

Рис.8                                                                                                                          Рис.9

Проведенное исследование позволяет построить график функции 1аналогично тому, как был построен график функции . Но график функции 1 можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции 1, используя формулу

40

Рис.10

Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки 41а также

абсциссы и ординаты этих точек. Так как 42, то при повороте

прямоугольника 43 около точки 44 на угол — против часовой стрел­ки он перейдет в прямоугольник 46. Но тогда 48. Следовательно, 00.

Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:50.

Тогда,51

Таким образом, 52.

Учитывая, что 53, график функции1 можно полу­чить из графика функции его параллельным переносом вдоль оси 11 на 54 (рис. 11). Полученный график называется косинусоидой (рис. 12).

55

Рис.11

56

Рис.12

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ 1 И ЕЕ ГРАФИК


График функции 1 (тангенсоида) 

Свойства функции 1:

1. Область определения: 

2. Область значений: 

3. Функция нечетная: 

4. Функция периодическая с периодом 

5. Точки пересечения с осями координат:   

6. Промежутки знакопостоянства:

7. Промежутки возрастания и убывания:

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

СВОЙСТВО ФУНКЦИИ  И ЕЕ ГРАФИК

График функции  (котангенсоида)

Свойства функции :

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция нечетная: 

4. Функция переодическая с периодом 
5. Точки пересечения с осями координат: 

6. Промежутки знакопостоянства: 

7. Промежутки возрастания и убывания:

 

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.