Основные тригонометрические тождества

На­пом­ним дру­гие важ­ные три­го­но­мет­ри­че­ские со­от­но­ше­ния:

1.       – ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство;

До­ка­за­тель­ство:

Вспом­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра, со­глас­но ко­то­рой сумма квад­ра­тов ка­те­тов равна квад­ра­ту ги­по­те­ну­зы:

α=b

Со­глас­но пра­ви­лу на­хож­де­ния ги­по­те­ну­зы:

 

АВ=аsinα=c

Рис. 2

Формула Допустимые значения аргумента
1.1 \operatorname {sin}^{2}\alpha +\operatorname {cos}^{2}\alpha =1 \forall \alpha
1.2 \operatorname {tg}^{2}\alpha +1={\frac  {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec}^{2}\alpha \alpha \neq {\frac  {\pi }{2}}+\pi n,n\in {\mathbb  Z}
1.3 \operatorname {ctg}^{2}\alpha +1={\frac  {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec}^{2}\alpha \alpha \neq \pi n,n\in {\mathbb  Z}
1.4 {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1} \alpha \neq {\frac  {\pi n}{2}},n\in {\mathbb  Z}

 

  • Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
  • Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на {\displaystyle \cos ^{2}\alpha } и {\displaystyle \sin ^{2}\alpha } соответственно.
  • Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Формулы сложения и вычитания аргументов

Формулы сложения и вычитания аргументов
2.1 \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta
2.2 \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta
2.3 \operatorname {tg}\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac  {\operatorname {tg}\alpha \pm \operatorname {tg}\beta }{1\mp \operatorname {tg}\alpha \operatorname {tg}\beta }}
2.4 \operatorname {ctg}\left(\alpha \pm \beta \right)={\frac  {\operatorname {ctg}\alpha \operatorname {ctg}\beta \mp 1}{\operatorname {ctg}\beta \pm \operatorname {ctg}\alpha }}

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2). А формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).