Определение:  Если неравенство f(x; a) >, <, ≤, ≥ 0 надо решить относительно переменной x, а буквой a обозначено произвольное действительное число, то выражение f(x; a) >, <, ≤, ≥ 0 называют неравенством с параметром а.

Решить неравенство с параметром- значит найти все значения параметров, при которых данное неравенство имеет решение.

Рассмотрим ход рассуждений при решении некоторых уравнений и неравенств с параметрами.

 
Пример 1:

Найти решение неравенства при всех значениях параметра a:

ах - 1 > 3

Преобразуя неравенство, получим:

ах > 4

В зависимости от значения а, возможны три случая решения:

а < 0  \Rightarrow   x \in (- \infty; \frac{4}{a} )

а = 0  \Rightarrow   x \in \oslash

a > 0  \Rightarrow    x \in ( \frac{4}{a}; + \infty)

 

Пример 2:

Найти решение неравенства при всех значениях параметра a:

 

5х – а > ax + 3

Для начала преобразуем исходное неравенство.

5х – ах > a + 3

вынесем за скобки х в левой части неравенства:

x(5 – а) > a + 3

Возможны три варианта решения неравенства:

a > 5  \Rightarrow  x <  \frac{3 + a}{5 - a}

а = 5  \Rightarrow   x \in \oslash

а < 5   \Rightarrow   x >  \frac{3 + a}{5 - a}

 

 

Пример 3:

Найти решение неравенства при всех значениях параметра a:

x2 − 2ax + 4 > 0

Решение. Находим дискриминант квадратного трёхчлена x2 − 2ax + 4

 

D1 = a2 − 4

Возможны три варианта расположения параболы y = x− 2ax + 4, изображённые на рисунке (слева направо идут случаи D1 > 0, D1 = 0 и D1 < 0).

Пусть D1 > 0, то есть a < −2 или a > 2.

Тогда парабола пересекает ось X в двух точках:

x1 =  a - \sqrt[]{a^2-4}

x2 a + \sqrt[]{a^2-4}  

Множество решений неравенства состоит из тех x, при которых y > 0 (ведь именно таков знак решаемого неравенства); то есть из тех x, при которых график проходит выше оси абсцисс:

 

x1 <  a - \sqrt[]{a^2-4}

x2 >  a + \sqrt[]{a^2-4}  

 

Пусть теперь D1 = 0, то есть a = ±2. Парабола касается оси X в точке x = a; множество решений нашего неравенства — все x за исключением точки a.

Наконец, пусть D1 < 0, то есть −2 < a < 2. Тогда парабола лежит целиком выше оси X, и любой x служит решением нашего неравенства.

Ответ:

 a \in (- \infty; -2]U[2; + \infty) \Rightarrow x \in (- \infty; a - \sqrt[]{a^2-4})U(a + \sqrt[]{a^2-4}; + \infty)

 a \in (-2; 2) \Rightarrow  x \in R

 

 
Пример 4:

Найти решение неравенства при всех значениях параметра a:

(x - 1)(x - a) > 0

Решение: Находим корни неравенства

x1 = a, x2 = 1

Рассмотрим три случая: a < 1, a = 1, a > 1

Если a < 1, тогда график будет выглядеть следующим образом:

Решение неравенства  x \in(- \infty; a)U(1; + \infty)

Если a = 1, то в точке x = 1 образуется петля:

Решение неравенства  x \in(- \infty; 1)U(1; + \infty)

Если a > 1, то:

Решение неравенства  x \in(- \infty; 1)U(a; + \infty)

Ответ:

 a < 1 \Rightarrow x \in(- \infty; a)U(1;+ \infty)

 a = 1 \Rightarrow  x \in (- \infty; 1)U(1; + \infty)

 a > 1 \Rightarrow  x \in (- \infty; 1)U(a; + \infty)

 

 

 

 

Пример 5:

Найти решение неравенства при всех значениях параметра a:

ax2 + 3x - a - 3 ≥ 0

Решение: Находим корни неравенства:

ax2 + 3x - a - 3 = 0

D = 9 - 4a(-a - 3) = (3 + 2a)2

x1 = 1, x2  \frac{-3 - a}{a}

Рассмотрим возможные случаи.

Если a > 0, то:

 1 < \frac{-3-a}{a}

 a < -3 - a

 a < - \frac{3}{2}

Получаем противоречие, т.е. этот случай не рассматриваем.

Если a < 0, тогда:

 

 1 < \frac{-3-a}{a}

 a > -3 - a

 a > - \frac{3}{2}

Если  - \frac{3}{2} < a < 0  , то:

Решением неравенства будет  x \in[1; - \frac{-3-a}{a}]  .

 

 

Если  a = - \frac{3}{2}  , тогда:

 

 

Решение  x = 0  .

Если  a < - \frac{3}{2}  , следовательно:

И решением будет  x \in[ \frac{-3-a}{a}; 1] .

Ответ:

 

 

 - \frac{3}{2} < a < 0  \Rightarrow x \in [1; \frac{-3-a}{a}]

 a = - \frac{3}{2} \Rightarrow x = 0

 a < - \frac{3}{2} \Rightarrow x \in [ \frac{-3-a}{a}; 1]