Квадратным неравенством называют неравенство вида 

 

αx² + bх + c > 0, где а ≠ 0

Разберем графический способ решения квадратных неравенств

Графический способ

Графический способ – это один из самых простых методов решения неравенств. Суть графического способа решения неравенств следующая: рассматривают функцию y = f(x), строят её график в Декартовой системе координат и выясняют, на каких промежутках график расположен выше нуля, а на каких ниже. Те промежутки, на которых

 

• график функции f выше 0 являются решениями неравенства f(x) > 0;
• график функции f не ниже 0 являются решениями неравенства f(x) ≥ 0;
• график функции f ниже 0 являются решениями неравенства f(x) < 0;
• график функции f не выше 0 являются решениями неравенства f(x) ≤ 0.

 

Также скажем, что точки пересечения графика функции f(х) с осью абсцисс (осью х) являются решениями уравнения f(x) = 0.

Разберем на примере:

αx² + bx + c < 0 (≤, >, ≥)

Графиком левой части неравенства является парабола. Дальше, согласно графическому способу решения неравенств, надо проанализировать, на каких промежутках график одной функции расположен выше или ниже оси Ох, что позволит записать искомое решение квадратного неравенства.

В зависимости от значений коэффициентов a, b и c возможны следующие шесть вариантов (для наших нужд достаточно схематического изображения, и можно не изображать ось Oy, так как ее положение не влияет на решения неравенства):

Вариант 1:

 

На этом чертеже мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая пересекает ось Ox в двух точках (x₁ и x₂). Этот чертеж отвечает варианту, когда коэффициент α – положительный (он отвечает за направленность вверх ветвей параболы), и когда положительно значение дискриминанта квадратного трехчлена αx² + bx + c (при этом трехчлен имеет два корня, которые мы обозначили как x₁ и x₂).

 

Давайте для наглядности изобразим красным цветом части параболы, расположенные выше оси абсцисс, а синим цветом – расположенные ниже оси абсцисс и выясним, какие промежутки этим частям соответствуют. Определить их поможет следующий чертеж (в дальнейшем подобные выделения в форме прямоугольников будем проводить мысленно):

 

 

 

• Так на оси абсцисс оказались подсвечены красным цветом два промежутка(−∞, x₁) и (x₂, +∞), на них парабола выше оси Ox, они составляют решение квадратного неравенства αx² + bx + c > 0.
• Синим цветом подсвечен промежуток (x₁, x₂), на нем парабола ниже оси Ox, он представляет собой решение неравенства αx² + bx + c < 0. 
• Решениями нестрогих квадратных неравенств αx² + bx + c≥0 и αx² + bx + c ≤ 0 будут те же промежутки, но в них следует включить корни x₁ и x₂, отвечающие равенству αx² + bx + c=0.

 

Вариант 2:

 

Здесь мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая касается оси абсцисс, то есть, имеет с ней одну общую точку, обозначим абсциссу этой точки как x₀. Представленному случаю отвечает α > 0 (ветви направлены вверх) и D =0 (квадратный трехчлен имеет один корень x₀). Для примера можно взять квадратичную функцию y= x² − 4x + 4, здесь 

α = 1 > 0, D = (−4)2 − 4•1•4 = 0 и x₀ = 2.

По графику отчетливо видно, что парабола расположена выше оси Ox всюду, кроме точки касания, то есть, на промежутках (−∞, x₀), (x₀, ∞). Для наглядности выделим на чертеже области по аналогии с предыдущим пунктом.

 

 

Делаем выводы: при α > 0 и D = 0

Решением квадратного неравенства 

Делаем выводы: при a>0 и D=0

• Решением квадратного неравенства αx² + bx + c > 0 является(−∞, x₀)∪(x₀, +∞) или в другой записи x ≠ x₀;
• Решением квадратного неравенства αx² + bx + c ≥ 0 является (−∞, +∞) или в другой записи x ∈ R;
• Квадратное неравенство αx² + bx + c < 0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox);
• Квадратное неравенство αx² + bx + c ≤ 0 имеет единственное решение x = x₀ (его дает точка касания), где x₀ - корень квадратного трехчлена αx² + bx + c > 0 является (−∞, x₀)∪(x₀, +∞) или в другой записи x ≠ x₀;

Вариант 3:

В этом случае ветви параболы направлены вверх, и она не имеет общих точек с осью абсцисс. Здесь мы имеем условия α > 0 (ветви направлены вверх) и D < 0(квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y = 2x² + 1, здесь α = 2 > 0, 

D = 0² − 4•2•1 = −8 < 0.

Очевидно, парабола расположена выше оси Ox на всем ее протяжении (нет интервалов, на которых она ниже оси Ox, нет точки касания).

Таким образом, при α > 0 и D < 0 решением квадратных неравенств αx² + bx + c > 0 и αx² + bx + c  ≥ 0 является множество всех действительных чисел, а неравенства αx² + bx + c < 0 и αx² + bx + c ≤ 0 не имеют решений.

И остаются три варианта расположения параболы с направленными вниз, а не вверх, ветвями относительно оси Ox. В принципе их можно и не рассматривать, так как умножение обеих частей неравенства на −1 позволяет перейти к равносильному неравенству с положительным коэффициентом при x₂. 

Пример:

а) x² - 2x - 3 > 0

б) x² - 2x - 3 < 0

в) x² - 2x - 3 ≥ 0

г) x² - 2x - 3 ≤ 0

Решение:

  рис 1.

Рассмотрим параболу y = x² - 2x - 3 на рисунке 1.

а) Решить неравенство x² - 2x - 3 > 0 - это значит ответить на вопрос, при каких значениях xординаты точек параболы положительны. Замечаем, что y > 0, т. е. график функции расположен выше оси x, при x < -1 или при x > 3. Значит, решением неравенства служат все точки открытого луча (-∞; -1), а так же все точки открытого луча (3; +∞).

Используя знак  "U", ответ можно записать так: (-∞; -1)υ(3; +∞). Впрочем, ответ можно записать и так:

x < -1; x > 3.

б) Неравенство x² - 2x - 3 < 0, или y < 0, где y = x² - 2x - 3, также можно решить с помощью рис. 1: график расположен ниже оси x, если -1 < x < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (-1; 3).

в) Неравенство x² - 2x - 3 ≥ 0 отличается от неравенства x² - 2x - 3 > 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения x² - 2x - 3 = 0, т.е. точки x = -1 и x = 3. Таким образом, решениями данного неравенства являются все точки луча (-∞; -1], а также все точки луча [3; +∞).

 

г) Неравенство x² - 2x - 3 ≤ 0 отличается от неравенства x² - 2x - 3 < 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения x² - 2x - 3 = 0, т.е. x = -1 и x = 3. Следовательно, решениями данного неравенства служат все точки отрезка [-1; 3].

Алгоритм решения

Итогом всех предыдущих выкладок выступает алгоритм решения квадратных неравенств графическим способом:

 

• На координатной плоскости выполняется схематический чертеж, на котором изображается ось Ox (ось Oy изображать не обязательно) и эскиз параболы, отвечающей квадратичной функции            y = αx² + bx + c . Для построения эскиза параболы достаточно выяснить два момента:
• Во-первых, по значению коэффициента a выясняется, куда направлены ее ветви (при a>0 – вверх, при a<0 – вниз).
• А во-вторых, по значению дискриминанта квадратного трехчлена αx² + bx + c  выясняется, пересекает ли парабола ось абсцисс в двух точках (при D > 0), касается ее в одной точке (при D = 0), или не имеет общих точек с осью Ox (при D < 0). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.
• Когда чертеж готов, по нему на втором шаге алгоритма
• При решении квадратного неравенства a•x2+b•x+c>0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс;
• При решении неравенства αx² + bx + c ≥ 0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);
• При решении неравенства αx² + bx + c < 0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox;
• Наконец, при решении квадратного неравенства вида αx² + bx + c ≤ 0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания); они и составляют искомое решение квадратного неравенства, а если таких промежутков нет и нет точек касания, то исходное квадратное неравенство не имеет решений.