Свойства числовых неравенств

 

  • Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c (Пример: 8 > 4 и 4 > 3 => 8 > 3)
  • Свойство 2. Если a > b, то a + const > b + const. Const-произвольное число (Пример: x - 3 > 0 <=> x - 3 + 8 > 0 + 8)
  • Свойство 3. Если a > b и m > 0, то am > bm; 

 

Если a > b и m < 0, то am < bm. m-произвольное число.

Смысл свойства 3 заключается в следующем:  

 

  • если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число,то знак неравенства следует сохранить;
  • если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить(знак “<” на “>”, знак “>” на “<”);(для нестрогих неравенств)

 

Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства a > b на -1, получим: -a < -b.

 

  • Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b + d (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 + 3 > 4 + 2)
  • Свойство 5. Если a,b,c,d –положительные числа и a > b, c > d то ac > bd (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 * 3 > 4 * 2)

 

Линейные неравенства

 

Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Рассмотрим, например, неравенство 2х + 5 < 7. 

Решение:

Нас интересуют такие числа х, при которых 2х + 5 < 7— верное числовое неравенство. 

Давайте упростим наше неравенство.

1) Согласно свойству 2 к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число “-5”, получили:

2х + 5 - 5 < 7 - 5.

2х < 2

Получили более простое неравенство. 

2) На основании свойства 3 можно разделить обе его части на положительное число 2, полученное неравенство:

х < 1

Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х, которое меньше 1. Таким образом, множеством решений данного неравенства является множество чисел x < 1 (или иначе в виде числовой прямой (-∞;1])

Свойства позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами: 

 

  • Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства  в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства. 
  • Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства. 
  • Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. 

 

 

Применим эти правила для решения линейных неравенств, т.е. неравенств, сводящихся к виду 

ах + b > 0

где а и b — любые числа, за одним исключением: а ≠ 0. 

Если а = 0, то рассматриваем 2 случая:

1) Если b > 0, то x может быть любое число (Ответ:  x \in R )

2) Если b < 0, то решения нет (Ответ:  x \in \oslash )

 

Пример 1:

Решить неравенство 

Зх - 5 ≥ 7х - 15. 

Решение.

Руководствуемся правилом 1 перенесем член 7х в левую часть неравенства, а член -5 — в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить знаки и у члена 7х, и у члена -5. Тогда получим: 

Зх - 7х ≥ -15 + 5

-4х ≥ -10

Согласно правилу 3 разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число -4, не забыв при этом сменить знак неравенства. Получим: 

х ≤ 2,5.

Это и есть решение заданного неравенства. 

Как мы условились, для записи решения можно использовать обозначение соответствующего промежутка числовой прямой: (-∞; 2,5]. 

Ответ: (- ∞; 2,5].

 

Пример 2:

Решить неравенство 

 \frac{x}{3} + \frac{2x - 1}{5} > 2x - \frac{1}{15}

Решение. Руководствуясь правилом 2, умножим обе части неравенства на положительное число 15, оставив знак неравенства без изменения. Это позволит нам освободиться от знаменателей, т.е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному:

 15 ( \frac{x}{3} + \frac{2x - 1}{5} ) > 15 (2x - \frac{1}{15} )  

5x + 3(2x - 1) > 30x - 1

5x + 6x - 3 > 30x - 1

11x - 3 > 30x - 1

Воспользовавшись для последнего неравенства правилом 1, получим равносильное ему более простое неравенство: 

11x - 30x > -1 + 3

-19x > 2

Наконец, применив правило 3, получим:

 x < - \frac{2}{19}

Ответ: (-∞,  - \frac{2}{19} ).

 

 

Пример 3:

Решить неравенство 

3x + 2 > 2(x + 3) + x

 

Решение.

Раскроем скобки во второй части неравенства:

3x + 2 > 2x + 6 + x

Руководствуясь правилом 1, перенесем члены "с иксом" в левую часть неравенства, а "без икса" в правую:

3x - 2x - x > 6 - 2

0x > 4

0 > 4

Получаем противоречие.

Решения нет.

Ответ:  x \in \oslash

 

Пример 4:

 

Решить неравенство 

2(x - 1) + 3 > 2x - 5

 

Решение.

Раскроем скобки во второй части неравенства:

2x - 2 + 3 > 2x - 5

Руководствуясь правилом 1, перенесем члены "с иксом" в левую часть неравенства, а "без икса" в правую:

2x - 2x > 2 - 5 - 3

0x > -6

0 > -6

Получаем верное неравенство.

В данном случае можно взять любое число x, так как от него не зависит решение.

Ответом является вся числовая прямая.

Ответ:  x \in R

 

В заключение заметим, что, используя свойства числовых неравенств и правила, мы в этом параграфе учились решать не любое неравенство с переменной, а только такое, которое после ряда простейших преобразований (типа тех, что были выполнены в примерах из этого параграфа) принимает вид ax > b, такие неравенства называются линейными. Далее мы изучим методы для решения более сложных неравенств.

Перейти к тесту