Операции над высказываниями.

Высказывание - повествовательное предложение, о котором однозначно можно сказать истинно оно или ложно.

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, читаемое: «А и В», которое истинно в единственном случае, когда высказывания А и В истинны одновременно.

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, читаемое: «А или В», которое ложно в единственном случае, когда оба высказывания ложны одновременно.

Импликацией высказываний А и В называется высказывание, читаемое: «Если А, то В», которое ложно в единственном случае, когда высказывание А истинно и высказывание В ложно.

Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание, читаемое: «А тогда и только тогда, когда В», которое истинно в двух случаях, когда высказывания А и В истинны одновременно, когда высказывания А и В ложны одновременно.

Отрицанием высказывания А называется высказывание, читаемое «не А», которое ложно, когда А истинно и истинно, когда высказывание А ложно.

Обозначение операций над высказываниями.

Обозначение операций над высказываниями

Обозначение, запись, чтение высказываний. Логическое значение высказывания.

Если известно по условию задачи, какое именно повествовательное предложение названо или обозначено символом А, то А – логическая константа.

Например: А : «Декабрь – зимний месяц». А – логическая константа.

Если неизвестно какое повествовательное предложение обозначено этим символом, то А – логическая переменная. Из логических переменных, символов бинарных и унарных операций, скобок составляются выражения с логическими переменными. Каждая логическая переменная является элементарным выражением с логической переменной. Если в записи выражения имеется хотя бы один символ операции, то оно называется составным.

Два выражения с логическими переменными называются равносильными, если при каждом наборе логических значений переменных в них входящих, эти выражения принимают одно и то же значение.

Если выражения F1 и F2 равносильны, то пишут: F1≡ F2.

Если при каждом наборе логических значений переменных, входящих в данное выражение, оно принимает ложное значение, то данное выражение называется тождественно-ложным или противоречием. Тождественно – ложное выражение F обозначают: F≡0.

Если при каждом наборе логических значений переменных, входящих в данное выражение, оно принимает истинное значение, то данное выражение называется тождественно-истинным или тавтологией. Тождественно – истинное выражение F обозначают: F≡1.

Не всякое выражение является тождественно–истинным или тождественно-ложным. Если существуют наборы, при которых выражение принимает истинное значение, и существуют наборы, при которых оно принимает ложное значение, то выражение не является ни тождественно-истинным, и ни тождественно-ложным.

Свойства операций над высказываниями.

Каждое свойство операций над высказываниями является равносильностью двух выражений с логическими переменными. Будем называть основные свойства основными равносильностями.

Каждая сформулированная равносильность доказывается с помощью таблицы истинности.