Скопинцева Юлия

1. Основные понятия

Функ­ци­ей на­зы­ва­ет­ся закон f, по ко­то­ро­му каж­до­му эле­мен­ту x∈X ста­вит­ся в со­от­вет­ствие един­ствен­ный эле­мент y.

Обо­зна­че­ния:

При­ме­ры функ­ций:

1.  (гра­фик функ­ции – па­ра­бо­ла);

2.  (функ­ция об­рат­ная про­пор­ци­о­наль­ность, гра­фик функ­ции – ги­пер­бо­ла);

3.  (ли­ней­ная функ­ция, гра­фик функ­ции – пря­мая);

4.  (квад­ра­тич­ная функ­ция, гра­фик функ­ции – па­ра­бо­ла);

5.  (гра­фик функ­ции – ветвь па­ра­бо­лы);

6. .

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. Гра­фик функ­ции .

Функ­ций много, но все за­да­ют­ся по пра­ви­лу: каж­до­му эле­мен­ту  ста­вит­ся в со­от­вет­ствие един­ствен­ный эле­мент .

На­при­мер, для функ­ции   при .

2. Область определения функции

По­ня­тие функ­ции яв­ля­ет­ся важ­ней­шим в ма­те­ма­ти­ке. Важны все эле­мен­ты, за­да­ю­щие функ­цию.

Мно­же­ство всех до­пу­сти­мых зна­че­ний ар­гу­мен­та  на­зы­ва­ет­ся об­ла­стью опре­де­ле­ния функ­ции и обо­зна­ча­ет­ся E(f) - об­ласть зна­че­ния.

В слу­чае, когда , функ­цию на­зы­ва­ют чис­ло­вой.

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров на на­хож­де­ние есте­ствен­ной об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ции (так го­во­рят, если мно­же­ство  не за­да­но).

1. .  Ответ: .

2. .  Ответ: , т.к. нель­зя де­лить на 0.

3. .  Ответ: , т.к. нель­зя из­вле­кать квад­рат­ный ко­рень из от­ри­ца­тель­ных чисел.

4. .  Ответ: .

5. .  Ответ: .

6. .  Ответ: .

Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции – важ­ней­ший эле­мент функ­ции. Если при за­да­нии функ­ции мно­же­ство   не за­да­но, то об­ласть опре­де­ле­ния счи­та­ет­ся есте­ствен­ной, т.е. сов­па­да­ю­щей с об­ла­стью опре­де­ле­ния вы­ра­же­ния .

При­ме­ры.

1. Найти об­ласть опре­де­ле­ния и по­стро­ить гра­фик функ­ции

Ответ:  (есте­ствен­ная об­ласть опре­де­ле­ния).

Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла (см. Рис.1).

2. Найти об­ласть опре­де­ле­ния и по­стро­ить гра­фик функ­ции

Ответ: .

Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся часть па­ра­бо­лы (см. Рис.2).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2. Гра­фик функ­ции

Об­ласть опре­де­ле­ния все­гда при­сут­ству­ет при за­да­нии функ­ции: то ли в явном виде, то ли счи­та­ет­ся есте­ствен­ной об­ла­стью опре­де­ле­ния.

 

3. Область значений функции

При из­ме­не­нии ар­гу­мен­та из об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ции зна­че­ния функ­ции ме­ня­ют­ся на своем мно­же­стве.

Все зна­че­ния, ко­то­рые при­ни­ма­ет за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, об­ра­зу­ют об­ласть зна­че­ний функ­ции, ко­то­рая обо­зна­ча­ет­ся .

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров на на­хож­де­ние об­ла­сти зна­че­ний функ­ции.

1. ; . Ответ: . См. Рис. 1.

2. ; . Ответ: . См. Рис. 2.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.

4. Основные свойства 

Рас­смот­рим функ­цию  и «про­чтем» её гра­фик (см. рис. 1).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции

1.  – про­ек­ция на ось ;

2.  – про­ек­ция на ось ;

3.  – корни (нули функ­ции);

4. ;

5. .

В целом функ­ция не мо­но­тон­на. Рас­смот­рим про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти.

6. воз­рас­та­ет при , то есть боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции (мо­но­тон­ность «в горку»);

7. убы­ва­ет при , то есть боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции (мо­но­тон­ность «под горку»).

Возрастающая функция

Рис. 2. Гра­фик воз­рас­та­ю­щей функ­ции

Опре­де­ле­ние. Функ­цию  на­зы­ва­ют воз­рас­та­ю­щей на мно­же­стве , если для любых  и  из мно­же­ства , таких, что , вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство .

Разъ­яс­не­ние: боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции (см. рис. 2).

Убывающая функция

Опре­де­ле­ние. Функ­цию на­зы­ва­ют убы­ва­ю­щей на мно­же­стве , если для любых   мно­же­ства, таких, что , вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство.

Разъ­яс­не­ние: боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции (см. рис. 3).

Рис. 3. Гра­фик убы­ва­ю­щей функ­ции

Ограниченная снизу функция

Рис. 4. Гра­фик огра­ни­чен­ной снизу функ­ции

Опре­де­ле­ние. Функ­цию на­зы­ва­ют огра­ни­чен­ной снизу на мно­же­стве , если все зна­че­ния функ­ции на мно­же­стве боль­ше неко­то­ро­го числа (иными сло­ва­ми, если су­ще­ству­ет число  такое, что для лю­бо­го зна­че­ния  вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство ) (см. рис. 4).

Ограниченная сверху функция

Опре­де­ле­ние. Функ­цию на­зы­ва­ют огра­ни­чен­ной свер­ху на мно­же­стве, если все зна­че­ния функ­ции мень­ше неко­то­ро­го числа (иными сло­ва­ми, если су­ще­ству­ет число  такое, что для лю­бо­го зна­че­ния  вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство  ) (см. рис. 5).

Рис. 5. Гра­фик огра­ни­чен­ной свер­ху

Наименьшее значение функции

Рис. 6. Гра­фик и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

Опре­де­ле­ние. Число  на­зы­ва­ют наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции  на мно­же­стве , если:

1. В су­ще­ству­ет такая точка , что .

2. Для всех вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство .

Ясно, что, если у функ­ции су­ще­ству­ет  , то она огра­ни­че­на снизу (см. рис. 6).

 

Наибольшее значение функции

Опре­де­ле­ние. Число  на­зы­ва­ют наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции  на мно­же­стве , если:

1) в су­ще­ству­ет такая точка , что ;

2) для всех вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство .

Ясно, что, если у функ­ции су­ще­ству­ет , то она огра­ни­че­на свер­ху (см. рис.7).

Рис. 7. Гра­фик и наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

Понятие выпуклой функции

Функ­ция вы­пук­ла вниз на мно­же­стве  (кри­вая под от­рез­ком) (см. рис.8).

Рис. 8. Гра­фик вы­пук­лой вниз функ­ции

Рис. 9. Гра­фик вы­пук­лой вверх функ­ции

Функ­ция вы­пук­ла вверх на мно­же­стве (кри­вая над от­рез­ком) (см.рис. 9).

Понятие непрерывной функции

Рис. 10. Гра­фик непре­рыв­ной на от­рез­ке функ­ции

Непре­рыв­ность функ­ции на про­ме­жут­ке озна­ча­ет: гра­фик сплош­ной, без про­ко­лов и скач­ков (см. рис.10).

Рис. 11. Гра­фик функ­ции

При­мер функ­ции, ко­то­рая не яв­ля­ет­ся непре­рыв­ной (см. рис. 11):

.

.

Пример конкретной функции

По­стро­ить гра­фик функ­ции  и «про­честь» его, ука­зать .

 

Ре­ше­ние. Гра­фик функ­ции на рис. 12.

 .

Ответ: 1) ;

2) ;

3)  воз­рас­та­ет при ;

4)  убы­ва­ет при ;

5) .

 

Рис. 12. Гра­фик функ­ции