Н.С. Шернина, преподаватель Кубанского госуниверситета

1. Производная
 

Рассмотрим некоторую функцию в двух точках  и :  и .
Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции:  называется приращением функции.

Производной функции  в точке  называется предел, к которому стремится отношение приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (формула 1).

Если этот предел существует, то функция  называется дифференцируемой в точке . Производная функции  обозначается (формула 2)
 

   (1)

   (2)

2. Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции .
 

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции можно записать формула 3). В ней  - угол наклона секущей AB.
 

   (3)

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения  равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует вывод.

3. Уравнение касательной

Выведем уравнение касательной к графику функции в точке . В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом  имеет вид:
Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: 
Отсюда следует: .
Подставляя это выражение вместо b, получаем уравнение касательной(формула 4).
 

   (4)

4. Механический смысл производной

Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси. При этом задан закон движения точки: координата x движущейся точки – это известная функция времени . В течение интервала времени от  до точка перемещается на расстояние: .
Её средняя скорость () находится по формуле: . При  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая в физике называется мгновенной скоростью  материальной точки в момент времени . Следовательно, для мгновенной скорости можно записать формулу 5
 

   (5)

Если сравнить эту формулу с формулой производной 1, то можно сделать вывод, что

Скорость – это производная координаты по времени: .
В этом и состоит механический смысл производной.
Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: .

5. Дифференциал и его связь с производной
Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции – это произведение производной  и приращения аргумента  (формула 6).
 

   (6)

Геометрический смысл дифференциала ясен из рисунка 2.
 

Здесь . Из  можно записать: , где β – угол наклона касательной АС к оси ОХ. Но если , то . Дифференциал CD равен сумме отрезков  BС и BD (приращение функции). Но, если , то и отрезок . Значит, дифференциал отличается от производной на бесконечно малую величину.

6. Основные свойства производных и дифференциалов. Производная сложной функции
6.1 Правила дифференцирования функций. Таблица производных простейших элементарных функций.
Если , то , .
Если  и  - дифференцируемые функции в точке , то можно записать:

, , ;
, ;
, ;
, ,

Таблица производных простейших элементарных функций

6.2 Производная сложной функции

Рассмотрим сложную функцию, аргумент которой также является функцией: . Если функция f имеет производную в точке , а функция g имеет производную в точке , то сложная функция h также имеет производную в точке , вычисляемую по формуле:
 

6.3 Вторая производная

Если производная  функции  дифференцируема в точке , то её производная называется второй производной функции в точке , и обозначается .

6.4 Правило Лопиталя

Пусть при  для функций  и, дифференцируемых в некоторой окрестности точки а , выполняются условия. (формулы 7).
 

   (7)

Эта теорема называется правилом Лопиталя. Она позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятся либо к нулю, либо к бесконечности. Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределённостей типа:  и . Рассмотрите примеры.
 

При неопределённостях другого типа: , , , ,  нужно проделать предварительно ряд тождественных преобразований, чтобы привести их к какой-то из двух неопределённостей: либо , либо . После этого можно применять правило Лопиталя. Покажем некоторые из возможных преобразований указанных неопределённостей.

Если же после применения правила Лопиталя неопределённость типа  или  осталась, нужно применить его повторно. Многократное применение правила Лопиталя может привести к требуемому результату. Правило Лопиталя применимо и в случае, если .

7. Применение производной в исследовании функций
7.1 Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Если функция  дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной (рисунок 3). Если же функция разрывная в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

7.2 Достаточные признаки монотонности функции

7.3 Теорема Дарбу

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.Рассмотрите примеры
 

Следовательно, функция на рисунке 4а возрастает на интервалах  и  и убывает на интервале . Точка  не входит в область определения функции, но по мере приближения x к 0 слагаемое  неограниченно возрастает. Поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке  значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции ( рис.4б ).

7.4 Критические точки

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум, рис.5а,б).
 

В точках ,  (рис.5a) и  (рис.5b) производная равна 0. В точках , (рис.5б) производная не существует. Но все они – это точки экстремума.

7.5 Необходимое условие экстремума

Эта теорема –  необходимое условие экстремума. Если же производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция всегда имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции  равна 0 при , но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис.6 ).
С другой стороны, функция , представленная на рис.3, имеет минимум в точке , но в этой точке производной не существует.

7.6 Достаточные условия экстремума

7.7 План исследования функции
Для построения графика функции нужно:

1) найти область определения и область значений функции;
2) установить, является ли функция чётной или нечётной;
3) определить, является ли функция периодической или нет;
4) найти нули функции и её значения при ,
5) найти интервалы знакопостоянства;
6) найти интервалы монотонности;
7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках;
8) проанализировать поведение функции вблизи “особых” точек и при больших значениях модуля x.

Пример. Исследование функции , построение графика
1) область определения (x – любое действительное число); область значений , так как  – многочлен нечётной степени;
2) функция  не является ни чётной, ни нечётной (докажите самостоятельно);
3)  – непериодическая функция (докажите самостоятельно);
4) график функции пересекается с осью Y в точке , так как .
Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение: .
Один из его корней  очевиден. Другие корни находятся (если они есть!) из решения квадратного уравнения: . Оно получено делением многочлена  на двучлен . Легко проверить, что два других корня:  и . Таким образом, нулями функции являются:-2, -1 и 1.
 

5) Это означает, что числовая ось делится этими корнями на четыре интервала знакопостоянства, внутри которых функция сохраняет свой знак. Этот же результат может быть получен разложением многочлена на множители:
. Затем надо оценить знак произведения методом интервалов.
6) Производная  не имеет точек, в которых она не существует, поэтому её область определения R (все действительные числа); нули  – это корни уравнения: .
Эти корни: .
Функция имеет две критические точки и три интервала монотонности: .
Полученные результаты сведены в таблицу. В ней стрелками обозначены выводы о возрастании функции или её убывании (наклонная стрелка вверх или вниз) внутри соответствующего интервала.
 

Теперь мы располагаем полной информацией для построения графика данной функции (рис. 8).

7.8 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

7.9 Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции

Пусть функция  дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале , тогда: если  для любого , то функция  является вогнутой на интервале ; если  для любого , то функция  является выпуклой на интервале .
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба  существует вторая производная , то .
Пример: Рассмотрим график функции . Эта функция является вогнутой при  и выпуклой при .
В самом деле, , но  при  и  при , следовательно,  при  и  при , откуда следует, что функция  является вогнутой при  и выпуклой при . Тогда  является точкой перегиба функции .
 

 Материалы для технологии "Поле знаний" по теме "Производная" предоставлены Шевляк А.Г.